Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости при установившемся движении. Выделим сечениями 1-1 и 2-2 отсек этой струйки (рис. 1.24). Высотное положение центров тяжести живых сечений относительно произвольно расположенной плоскости сравнения 00 характеризуется ординатами z1 и z2. Давления в центрах сечений p1 и p2, скорости u1 и u2 соответственно.
Рис. 1.24. Элементарная струйка идеальной жидкости при установившемся режиме движения
Условимся, что на отсек действуют только силы тяжести и силы гидродинамического давления (силы внутреннего трения отсутствуют, поскольку жидкость невязкая).
За малый промежуток времени Δt частицы жидкости из 1-1 переместятся в 1’-1’ на расстояние Δl1 = u1Δt, а частицы из 2-2 - 2’-2’ на расстояние Δl2 = u2Δt.
Применим теорему кинетической энергии. Согласно теореме приращение кинетической энергии отсека должно быть равно сумме работ всех сил, действующих на отсек, при указанном движении.
Работу производят силы тяжести и силы давления, действующие по крайним живым сечениям струйки. Направление по нормали к боковым поверхностям струйки (к направлению движения) давления окружающей массы невязкой жидкости работы не производят.
Работа сил давления
Работа сил тяжести эквивалентна (равна) работе, совершаемой силой тяжести массы жидкости участка 1-1’ при перемещении на разность высот (z1 — z2), т.е.
Приращение кинетической энергии отсека за t равно разности кинетических энергий элементов 1-1’ и 2-2’, так как в пределах участка 1’-2 при установившемся движении кинетическая энергия остается постоянной. Тогда
Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой жидкости при установившемся движении под действием сил тяжести.